Fibonacciho posloupnost
Fibonacciho posloupnost – rytmus růstu
Fibonacciho posloupnost je jedním z nejznámějších matematických principů, který v sobě nese jednoduchost i překvapivou hloubku.
Je definována velmi jednoduše:
první dva členy jsou rovny jedné a každý další vzniká jako součet dvou předchozích.
Vzniká tak řada:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…
Tento jednoduchý princip vytváří strukturu, která se znovu a znovu objevuje v přírodě i v matematice.
Fibonnaciho posloupnost je definována takto:
První dva členy posloupnosti jsou rovny jedné a každý další člen je roven součtu dvou předchozích členů.
Vzniká řada: 1, 1, 1+1=2, 2+1=3, 3+2=5, 5+3=8, 8+5=13...
Posloupnost lze obdobně definovat i pro záporná čísla.
Přirozený vztah ke zlatému řezu
Jednou z nejzajímavějších vlastností Fibonacciho posloupnosti je, že poměr dvou po sobě jdoucích čísel se postupně blíží hodnotě zlatého řezu (Φ ≈ 1,618).
Díky tomu je posloupnost přirozeně propojena s harmonií, kterou nacházíme v přírodních tvarech, růstu rostlin i proporcích živých organismů.
Prvních 21 Fibonacciho čísel Fn pro n = 0, 1, 2, ..., 20:
Poměr dvou následujících členů Fibonacciho posloupnosti konverguje k hodnotě Phi.
Příběh vzniku
Posloupnost je spojována s italským matematikem Leonardo z Pisy, známým jako Fibonacci (cca 1175–1250). (Fi + Bonacci - příjmení otce).
Popsal ji ve svém díle Liber Abaci z roku 1202.
Slavný příklad vychází z úlohy o množení králíků:
"Na pole umístíme pár králíků. Jestliže králíci po měsíci dospějí a zplodí každý měsíc nový pár – kolik párů králíků se narodí za dvanáct měsíců?" Řešením je číslo 144, které je dvanáctým členem posloupnosti čísel 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 ... Ta počínaje třetím členem vzniká tak, že další člen je součtem dvou předchozích členů.
Výsledkem je číslo 144, které odpovídá dvanáctému členu Fibonacciho posloupnosti.
Zajímavostí je, že tento princip byl znám již dříve, například v Indii.
Geometrie a spirála
Fibonacciho posloupnost lze snadno převést do geometrické podoby.
Pokud vytvoříme čtverce o stranách odpovídajících jednotlivým číslům posloupnosti a začneme je skládat vedle sebe, vznikne tvar, který se přirozeně stáčí do spirály.
Tato spirála:
- na sebe dokonale navazuje
- vytváří plynulý růst
- a přibližuje se tvaru spirály zlatého řezu
Právě proto ji nacházíme například v ulitách, květech nebo galaxiích.
Převedení posloupnosti do grafické podoby:
Pokud čtverce začneme skládat do sebe (do spirály), perfektně zapadají.
Kromě toho, že do sebe zapadají, lze uplatnit zlatý řez.
Další souvislosti
Fibonacciho čísla mají široké využití i v dalších oblastech matematiky:
- druhé mocniny těchto čísel vytvářejí zajímavé geometrické vztahy
- objevují se v konstrukcích obrazců a proporcí
- souvisejí s pravoúhlými trojúhelníky i dalšími geometrickými strukturami
Druhá mocnina čísel Fibonacciho posloupnosti
Více než jen čísla
Fibonacciho posloupnost není jen matematická zajímavost. Je to princip růstu, který propojuje čísla, geometrii i přírodu.
Ukazuje, že i z té nejjednodušší myšlenky může vzniknout struktura, která odráží hlubší řád světa – stejný řád, který stojí i za krásou zlatého řezu.